Euklid sin kateetenreegel

A ruad sjauerhuken san likegrat;
an a greenen uk.

Euklid sind kateetenreegel as näämd efter Euklid, en greksen matemaatiker.

Sin reegel sait, dat det kwadroot auer en kateet faan en rochtwinkelt triihuk jüst so grat üs det rochthuk, diar mä det ferlingert hööchde $h$ faan't hüpotenuusenkwadroot ufdiald woort.

At hööchde faan en rochtwinkelt triihuk dialt det hüpotenuus tu tau dialen $p$ an $q$. Sodeng as det ian ufdiald rochthuk $p$ • $c$ grat, an det ööder $q$ • $c$.

Kurt tuupfaadet:

$a^2=p\cdot c$

$b^2=q\cdot c$

Bewis

För di bewis brük wi tau ööder reegeln:

• Pythagoras sin reegel: $a^2+b^2=c^2$
• 1. Binomisk formel: $(p+q{)}^2=p^2+2pq+q^2$

Uun det tiaknang rochts san trii rochtwinkelt triihuken: Efter Pythagoras täält:

$a^2+b^2=c^2$

$h^2+p^2=a^2$

$h^2+q^2=b^2$

An do täält uk noch:

$p+q=c$ ↔ $(p+q{)}^2=c^2$.

Nü stel wi Pythagoras sin reegel am efter $a^2$:

$a^2=c^2-b^2$

Diar saat wi nü det iin, wat wi auer $b^2$ an $c^2$ witj:

$a^2=c^2-b^2=p^2+2pq+q^2-(q^2+h^2)=p^2+2pq+q^2-q^2-a^2+p^2=2p^2+2pq-a^2$

Iansis amsteld tu:

$2a^2=2p(p+q)=2pc$ an diald troch 2:

$a^2=pc$.

Det gongt natüürelk jüst so för

$b^2=qc$.

Luke uk diar

• Triihuk