Natüürelk taal

$\mathbb{N}$

A natüürelk taalen (mengde $\mathbb{N}$) san jodiar taalen, diar dü uftääl könst: 1(ian), 2(tau), 3(trii) an so widjer. Det gongt so widjer saner aanj, at jaft nian gratst taal. Enkelten tääl uk noch at 0 (nol) tu a natüürelk taalen.

Betiaknang

At formeltiaken för a natüürelk taalen

$\mathbb{N}$

Diartu hiar a positiif hial taalen

$\mathbb{N}=\{1;2;3;\dots \}$

Enkelten tääl diar uk at 0 noch tu, do san't aler hial taalen, diar ei negatiif san

$\mathbb{N}$₀$=\{0;1;2;3;\dots \}$

Peano-Aksiomen

A matematikers Gieuseppe Peano an Richard Dedekind haa a natüürelk taalen so definiaret:

1. 0 as en natüürelk taal.
2. Tu arke natüürelk taal $n$ jaft at genau ään efterfulger $n^{\prime }$, an di as uk en natüürelk taal.
3. Nian natüürelk taal hää üs efterfulger det 0.
4. Arke natüürelk taal as efterfulger faan ei muar üs ian natüürelk taal.
5. Faan aler taalmengden $X$, huar

   - det taal 0 an

   - mä arke natüürelk taal $n$ uk imer di efterfulger $n^{\prime }$

   uun föörkomt, as det mengde faan a natüürelk taalen det letjst.

Det leetst aksiom as det Induksjuunsaksiom, diar baut en bewismetoode uun a matematiik üüb ap. Uun a formelspriak het jo Peano-Aksiomen so:

1. $0\in \mathbb{N}$
2. $\mathrm{\forall }n:(n\in \mathbb{N}\Rightarrow \mathrm{\exists }!n^{\prime }\in \mathbb{N})$
3. $\mathrm{\forall }n:\mathrm{\neg }(n^{\prime }=0)$
4. $\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }(m,n):m^{\prime }=n^{\prime },\mathrm{\neg }m=n$
5. $\mathbb{N}=\inf (X:0\in X,(\mathrm{\forall }n:n\in X\Rightarrow n^{\prime }\in X))$

Tuuptäälen an moolnemen

A Peano-Aksiomen san a grünjlaag för't reegnin uun $\mathbb{N}$.

1. $n+0:=n$ Bispal: 17 + 0 = 17
2. $n+m^{\prime }:=(n+m{)}^{\prime }$ Bispal : 12 + (13 + 1) = (12 + 13) + 1 , det ment 12 + 14 = 25 + 1

an do

1. $n\cdot 0:=0$ Bispal: 17 * 0 = 0
2. $n\cdot m^{\prime }:=(n\cdot m)+n$ Bispal 3 * (4 + 1) = 3 * 4 + 3, det ment 3 * 5 = 12 + 3

Sodenang brangt det induksjuunsaksiom det seekerhaid, dat bi't reegnin aleewen weder natüürelk taalen ütjkem.

Ferwisang efter bütjen

Gieuseppe Peano