Mengdeliar

At mengdeliar as en grünjleien fääk faan't matematiik. Hat befaadet ham diarmä, hü mengden mäenööder tuuphinge an faanenööder ufhinge. Det spriak faan't mengdeliar woort brükt uun a algebra, analysis, geometrii, topologii an ööder matemaatisk feeg.

Betiaknangen

Det eegenskap $\in$ (as element faan) as det wichtagst ferbinjang tesken mengden. Ales, wat diarütj fulagt, san loogisk slütjer.

$A$ as en dialmengde faan $B$

Gemiansoom mengde faan $A$ an $B$

Ferianagt mengde faan $A$ an $B$

Sümeetrisk diferens faan $A$ an $B$

Aptäälang

At mengde mä a elementen $x_1$ bit $x_n$ häält det element $a$ genau do, wan $a$ mä ian element $x_k$ auerianstemet:

$a\in \{x_1,\dots ,x_n\}:⟺a=x_1\vee a=x_2\vee \cdots \vee a=x_n$

Det ütjsaag

$a\in \{1,2,3,4\}$

as likwäärdag (ekwiwalent) mä:

$a=1\vee a=2\vee a=3\vee a=4.$

Beskriiwang

At mengde faan $x$, huarför det eegenskap $P(x)$ tudraapt, häält en element $a$ genau do, wan det eegenskap üüb $a$ tudraapt:

$a\in \{x\mid P(x)\}:⟺P(a)$

Uun a ütjsaagenloogik het det:

$\mathrm{\forall }x(x\in A\leftrightarrow P(x))$

Dialmengde

En mengde $A$ as en dialmengde faan $B$, wan arke element faan $A$ uk element faan $B$ as:

$A\subseteq B:⟺\mathrm{\forall }x(x\in A\to x\in B)$

Leesag mengde

En mengde saner elementen as det leesag mengde. Hat woort mä $\mathrm{\varnothing }$ of uk $\{\}$ betiakent.

$A=\mathrm{\varnothing }:⟺\mathrm{\forall }x(\mathrm{\neg }x\in A)$

För det jindial $\mathrm{\neg }x\in A$ täält uk: $x\notin A$.

Gemiansoom mengde

Diar san $U$ mengden. Det gemiansoom mengde faan $U$ as det mengde faan objekten, diar uun arke elementmengde faan $U$ banen san:

$\bigcap U:=\{x\mid \mathrm{\forall }a\in U:x\in a\}$

Ferianagt mengde

Det ferianagt mengde faan $U$ mengden as det mengde faan objekten, diar uun tumanst ian elemntmengde faan $U$ banen san:

$\bigcup U:=\{x\mid \mathrm{\exists }a\in U:x\in a\}$

Likedenang mengden

Tau mengden san likdenang, wan diar josalew elementen banen san:

$A=B:⟺\mathrm{\forall }x(x\in A\leftrightarrow x\in B)$

Diferens an komplement

$A$ saner $B$

At diferens of uk restmengde faan $A$ an $B$ ("A saner B") as det mengde faan elementen, diar uun $A$, oober ei uun $B$ banen san:

$A\setminus B:=\{x\mid (x\in A)\wedge (x\in ̸B)\}$

Det diferens as uk det komplement faan B uun A:

$B^{\complement }:=\{x\mid x\in ̸B\}$

Sümeetrisk diferens

Det as det jindial faan't 'gemiansoom mengde':

$A\mathrm{△}B:=\{x\mid (x\in A\wedge x\in ̸B)\vee (x\in B\wedge x\in ̸A)\}=(A\cup B)\setminus (A\cap B)=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$

Potensmengde

At potensmengde $𝒫(A)$ faan en mengde $A$ as det mengde faan aal a 'dialmengden' faan $A$.

$𝒫(A):=\{X\mid X\subseteq A\}$

Karteesisk produkt faan $A$ an $B$

Karteesisk produkt

At produktmengde faan $A$ an $B$ as det mengde faan aal a paaren mä det iarst element ütj $A$ an det ööder ütj $B$:.

$A\times B:=\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\}$

Reegeln

(1) För dialmengden $A,B,C\subseteq X$ täält: Jo san

• refleksiif: $A\subseteq A$
• antisümeetrisk: Ütj $A\subseteq B$ an $B\subseteq A$ fulegt $A=B$
• transitiif: Ütj $A\subseteq B$ an $B\subseteq C$ fulegt $A\subseteq C$

(2) A mengdenoperatsioonen $\cap$ an $\cup$ san komutatiif, asotsiatiif an distributiif:

• Asotsiatiifgesets:
  • $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$ an
  • $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$
• Komutatiifgesets:
  • $A\cup B=B\cup A$ an
  • $A\cap B=B\cap A$
• Distributiifgesets:
  • $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$ an
  • $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$
• De Morgan sin gesetsen:
  • ${(A\cup B)}^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }$ an
  • ${(A\cap B)}^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }$
• Absorptionsgesets:
  • $A\cup (A\cap B)=A$ an
  • $A\cap (A\cup B)=A$

(3) Gesetsen för diferensmengden:

• Asotsiatiifgesetsen:
  • $(A\setminus B)\setminus C=A\setminus (B\cup C)$ an
  • $A\setminus (B\setminus C)=(A\setminus B)\cup (A\cap C)$
• Distributiifgesetsen:
  • $(A\cap B)\setminus C=(A\setminus C)\cap (B\setminus C)$ an
  • $(A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup (B\setminus C)$ an
  • $A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)$ an
  • $A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)$

(4) Gesetsen för sümeetrisk diferensen:

• Asotsiatiifgesets: $(A\mathrm{△}B)\mathrm{△}C=A\mathrm{△}(B\mathrm{△}C)$
• Komutatiifgesets: $A\mathrm{△}B=B\mathrm{△}A$
• Distributiifgesets: $(A\mathrm{△}B)\cap C=(A\cap C)\mathrm{△}(B\cap C)$
• $A\mathrm{△}\mathrm{\varnothing }=A$an $A\mathrm{△}A=\mathrm{\varnothing }$

Luke uk diar

• Ütjsaagenloogik