Kompleks taal

Vorlage:Öömrang

$ℂ$

Kompleks taalen (mengde $ℂ$) san bütj a reel taalen uk jodiaren, diar dü ei üüb en taalstrual wise könst.

Uun det mengde faan a reel taalen jaft at nian liasang för $x$ uun det liknang $x^2+1=0$. Üüs skrääpreegner sait 'error', wan wi $x=\sqrt{-1}$ liase wel.

Diaram as det nuadag, en nei taal iintufeeren, det imagineer taal $\mathrm{i}$ mä det eegenskap ${\mathrm{i}}^2=-1$. Det taal $\mathrm{i}$ het uk imagineer ianhaid.

Kompleks taalen kön uun det furem $a+b\cdot \mathrm{i}$ apskrewen wurd. Diarbi san $a$ an $b$ reel taalen an $\mathrm{i}$ det imagineer ianhaid.

Reegnin uun $ℂ$

Tuuptäälen faan tau kompleks taalen uun't kompleks fial (det Gauß-fial).

Tuuptäälen

Det tuuptäälen faan tau kompleks taalen $z_1=a+b\mathrm{i}$ an $z_2=c+d\mathrm{i}$ gongt so:

$z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\mathrm{i}.$

Uftäälen

Jüst so gongt det uftäälen faan $z_1$ maner $z_2$:

$z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\mathrm{i}.$

Moolnemen

Bi't moolnemen faan tau kompleks taalen $z_1$ an $z_2$ skel dü beaachte:

$z_1\cdot z_2=(ac+bd{\mathrm{i}}^2)+(ad+bc)\mathrm{i}=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm{i}.$

Dialen

Bi't dialen faan en kompleks taal $z_1$ troch $z_2$ skel dü di bröök iarst ütjwidje mä det konjugiaret kompleks taal faan di dialer: ${\overline{z}}_2=c-d\mathrm{i}$. Sodenang woort di dialer reel (an as jüst det kwadroot faan $c$ an $d$):

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{(a+b\mathrm{i})(c-d\mathrm{i})}{(c+d\mathrm{i})(c-d\mathrm{i})}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm{i}.$

Bispalen

Tuuptäälen

$(3+2\mathrm{i})+(5+5\mathrm{i})=(3+5)+(2+5)\mathrm{i}=8+7\mathrm{i}$

Uftäälen

$(5+5\mathrm{i})-(3+2\mathrm{i})=(5-3)+(5-2)\mathrm{i}=2+3\mathrm{i}$

Moolnemen

$(3+5\mathrm{i})\cdot (4+11\mathrm{i})=(3\cdot 4-5\cdot 11)+(3\cdot 11+5\cdot 4)\mathrm{i}=-43+53\mathrm{i}$

Dialen

$\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})}=\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})}\cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})}=\frac{(6+35)+(15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9+49)+(21\mathrm{i}-21\mathrm{i})}=\frac{41+\mathrm{i}}{58}=\frac{41}{58}+\frac{1}{58}\cdot \mathrm{i}$

Luke uk diar

• Riemann sin taalenkuugel